UNIDAD 1 CLASE 1 La Antiderivada y las integrales indefinidas

UNIDAD 1 CLASE 1 La Antiderivada y las integrales indefinidas

Es un tema que se me hizo muy fácil, por ahora fueron formulas sencillas que al practicarlo se va haciendo mas fácil.

Una integral indefinida es una operación matemática que consiste en calcular la función primitiva de una función. Es decir, dada una función f(x), la integral indefinida de la función f(x) es igual al conjunto de funciones que al ser derivadas dan como resultado f(x).

$\displaystyle\int$ es el signo de integración.
$\displaystyle f(x)$ es la función a integrar.
$\displaystyle dx$ es el diferencial de x, que indica la variable de la función que se integra.
$\displaystyle F(x)$ es la función resultado de la integral.

Estas son algunas de las formulas de las integrales indefinidas:

Integral de una constante:
$\displaystyle\int k \ dx=kx+C$
Integral de una potencia:
$\displaystyle\int x^ndx=\cfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$
Integrales de funciones exponenciales:
$\displaystyle \int e^x dx=e^x+C$
$\displaystyle \int a^x dx=\cfrac{a^x}{\ln a}+C$
Integrales logarítmicas:
$\displaystyle\int\frac{1}{x}\ dx= \ln|x| + C$
$\displaystyle\int\ln(x)\ dx= x\cdot \ln(x) -x+ C$
https://youtu.be/E5H9Qb0ixF4

https://youtu.be/j1GULExzaFI

https://youtu.be/CyZu4598sD4

Aqui unos ejemplos de ejercicios resueltos paso a paso:

Si tenemos la función

𝑓 (𝑥) = \sqrt{𝑥} + \frac{1}{\sqrt{𝑥}}

, ¿cuál es su integral indefinida?

Solución

Vamos a usar las leyes de los exponentes para escribir a la función de la siguiente forma:

$𝑓 (𝑥) = \sqrt{𝑥} + \frac{1}{\sqrt{𝑥}}$

$𝑓 (𝑥) = 𝑥^{\frac{1}{2}} + 𝑥^{- \frac{1}{2}}$

Formando una integral con esta función, tenemos:

$\int 𝑥^{\frac{1}{2}} + 𝑥^{- \frac{1}{2}} 𝑑 𝑥$

Al resolver, tenemos:

$\int 𝑥^{\frac{1}{2}} + 𝑥^{- \frac{1}{2}} 𝑑 𝑥 = \frac{2 𝑥^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 𝑥^{\frac{1}{2}} + 𝑐$

$= \frac{2 \sqrt{𝑥^{3}}}{3} + 2 \sqrt{𝑥} + 𝑐$

¿Cuál es la integral indefinida de $𝑓 (𝑥) = 4 \sqrt{𝑥} - \frac{2}{3 𝑥^{2}}$ ?

Solución

Vamos a escribir a la función de la siguiente forma usando las leyes de los exponentes:

$𝑓 (𝑥) = 4 \sqrt{𝑥} - \frac{2}{3 𝑥^{2}} = 4 𝑥^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} 𝑥^{- 2}$

Formando una integral indefinida con la función, tenemos:

$\int 4 𝑥^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} 𝑥^{- 2} 𝑑 𝑥$

Resolviendo esto, tenemos:

$\int 4 𝑥^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} 𝑥^{- 2} 𝑑 𝑥 = \frac{(2) 4 𝑥^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 𝑥^{- 1}}{3 (- 1)} + 𝑐$

$= \frac{8}{3} \sqrt{𝑥^{3}} + \frac{2}{3 𝑥} + 𝑐$

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