CLASE 4 | UNIDAD 1 CAMBIO DE VARIABLE

junio 03, 2024

Este tema es un poco mas complejo, al principio todo bien sin tantas complicaciones pero como todo, va subiendo el nivel y todo se va complicando.
Es un tema en donde tienes que investigar o mirar mas ejemplos si o si para lograr entender, a mi en lo personal me enrede un poco cuando con los problemas que tienen raíces...

Método de integración por sustitución o cambio de variable.

El método de integración por sustitución, también llamado método de integración por cambio de variable, es un procedimiento que sirve para resolver integrales complicadas.

En concreto, el método de integración por sustitución consiste en cambiar una expresión por otra variable para facilitar el cálculo de la integral.

Los pasos para resolver una integral mediante el método de integración por sustitución o cambio de variable son:

Escogemos la expresión algebraica de la integral que queremos sustituir y cual será el cambio de variable.
$u=g(x)$
Derivamos en los dos lados de la ecuación para calcular dx.
$du=g'(x)dx$
Hacemos el cambio de variable en la integral. Para ello, debemos sustituir la expresión algebraica que hemos escogido por u y, además, sustituir dx por la expresión calculada en el paso anterior.
$\displaystyle\int f(u)\ du$
Resolvemos la integral obtenida.
Deshacemos el cambio de variable para obtener el resultado de la integral original.
$u \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ g(x)$ $\displaystyle\int\text{sen}^4(x)\text{cos}(x)\ dx$
Para resolver esta integral trigonométrica vamos a utilizar el método de integración por sustitución. En este caso, haremos que la nueva variable sea el seno de x:
$u=\text{sen}(x)$
Para poder terminar de hacer el cambio de variable, tenemos que hallar dx. Así que derivamos en los dos lados de la ecuación anterior y despejamos el diferencial dx:
$du=\text{cos}(x)\ dx$
$dx=\cfrac{du}{\text{cos}(x)}$
Ahora realizamos el cambio de variable sustituyendo las expresiones obtenidas en la integral:
$\begin{array}{c}\displaystyle\int\text{sen}^4(x)\text{cos}(x)\ dx \\[3ex] \left\downarrow \begin{array}{c}u=\text{sen}(x)\\[2ex]dx=\cfrac{du}{\text{cos}(x)}\end{array}}\right. \\[7ex]\displaystyle \int u^4 \cdot \text{cos}(x)\cdot \frac{du}{\text{cos}(x)}\end{array}$
Al hacer el cambio de variable, obtenemos un coseno en el numerador y otro coseno en el denominador por lo que podemos simplificar la integral: $\displaystyle \int u^4 \ du$
De este modo podemos resolver fácilmente la integral aplicando la fórmula de las integrales de potencias:
$\displaystyle \int u^4 \ du=\frac{u^5}{5}+C$
Una vez hemos resuelto la integral, deshacemos el cambio de variable para hallar el resultado de la integral original:
$\displaystyle \frac{u^5}{5}+C=\frac{\text{sen}^5(x)}{5}+C$