CLASE 3 | LONGITUD DE ARCO

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron utilizados varios métodos para curvas específicas. La llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Cálculo mediante integrales 

Al considerar una curva definida por una FUNCION  y su respectiva derivada  que son continuas en un intervalo , la longitud  del arco delimitado por  y  es dada por la ecuación:

${\displaystyle 𝑠={\int }_{𝑎}^{𝑏}\sqrt{1+{\left[{𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)\right]}^2}\text{d}𝑥}$

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como ${\displaystyle 𝑥=𝑓\left(𝑡\right)}$ e ${\displaystyle 𝑦=𝑔\left(𝑡\right)}$, la longitud del arco desde el punto ${\displaystyle (𝑓(𝑎),𝑔(𝑎))}$ hasta el punto ${\displaystyle (𝑓(𝑏),𝑔(𝑏))}$ se calcula mediante:

${\displaystyle 𝑠={\int }_{𝑎}^{𝑏}\sqrt{{\left[{𝑓}^{\prime }\left(𝑡\right)\right]}^2+{\left[{𝑔}^{\prime }\left(𝑡\right)\right]}^2}\text{d}𝑡}$

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante ${\displaystyle 𝑟=𝑓(𝜃)}$, la longitud del arco comprendido en el intervalo ${\displaystyle [𝛼,𝛽]}$, toma la forma:

${\displaystyle 𝑠={\int }_{𝛼}^{𝛽}\sqrt{[𝑓(𝜃){]}^2+{\left[{𝑓}^{\prime }(𝜃)\right]}^2}\text{d}𝜃}$

Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenada curvilíneas  generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico ${\displaystyle {𝑔}_{𝑖𝑘}}$ donde la longitud de una curva ${\displaystyle 𝐶:[𝑎,𝑏]\to 𝑀}$ viene dada por:

${\displaystyle 𝑠={\int }_{𝑎}^{𝑏}\sqrt{\sum _{𝑖,𝑘}{𝑔}_{𝑖𝑘}\frac{\text{d}{𝑥}^{𝑖}}{\text{d}𝑡}\frac{\text{d}{𝑥}^{𝑘}}{\text{d}𝑡}}\text{d}𝑡}$

Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo ${\displaystyle {𝑥}^1=𝑟,{𝑥}^2=𝜃;{𝑔}_{11}=1,{𝑔}_{22}={𝑟}^2,{𝑔}_{12}={𝑔}_{21}=0;𝑟=𝑓(𝜃),𝑡=𝜃}$.

Longitud del arco para y = f (x)

Sea f (x) una función suave en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces, la longitud del arco de la porción de la gráfica de f (x) desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)) viene dada por

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Tenga en cuenta que estamos integrando una expresión que involucra f ′(x), por lo que debemos asegurarnos de que f ′(x) sea integrable. Es por eso que requerimos que f (x) sea suave.

 Cálculo de la longitud de arco de una función de x

Sea f (x)=2x3/2. Calcula la longitud del arco de la gráfica de f (x) sobre el intervalo [0, 1]. Redondea la respuesta a tres decimales.

Solución:

Tenemos f ′(x) = 3x1/2, entonces [f ′(x)]2 = 9x. Entonces, la longitud del arco es

Se sustituye u = 1 + 9x, entonces, du = 9dx. Cuando x = 0, entonces u = 1, y cuando x = 1, entonces u =10. Por lo tanto,

https://youtu.be/qVnnS5pMoqQ

https://youtu.be/Fg9C0cckeek

https://youtu.be/qVnnS5pMoqQ

https://youtu.be/IfoekgD8v2A