Integración de potencias de funciones trigonométricas

 Este tema se me hizo un poco menos complicado desde mi punto de vista, pero donde creo que me puedo llegar a confundir un poco es al momento de derivar e integrar ya sea el seno o el coseno; nada que con un poco mas de practica y teoría se pueda mejorar

Integración de funciones trigonométricas

La integración de potencias de funciones trigonométricas implica calcular integrales que contienen funciones trigonométricas elevadas a diferentes potencias. Para facilitar la integración, se utilizan identidades trigonométricas. Algunas de las identidades comunes son:

Estas identidades permiten simplificar las expresiones trigonométricas y resolver las integrales de manera más eficiente.

Integrando productos y potencias de senx y cosx

Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de senx y cosx implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma ∫senʲxcosxdx o ∫cosʲxsenxdx. Después de reescribir estas integrales, las evaluamos usando la sustitución u. 

Ejemplos:

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\cos^2 x\,dx \end{equation*}

Utilizamos la siguiente identidad:

  \begin{equation*} \cos x = \sqrt{\frac{1 + \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:

\begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!\left(1 + \cos(2\,x)\right)\,dx\\ &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,dx \end{eqnarray*}

Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,\left(\frac{2}{2}\right)dx\\ &=& \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\,\sin(2\,x) + C \end{eqnarray*}


Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas.

Contenido [Mostrar]

Ejemplo 1

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\cos^2 x\,dx \end{equation*}

Utilizamos la siguiente identidad:

  \begin{equation*} \cos x = \sqrt{\frac{1 + \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!\left(1 + \cos(2\,x)\right)\,dx\\ &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,dx \end{eqnarray*}

Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,\left(\frac{2}{2}\right)dx\\ &=& \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\,\sin(2\,x) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.

En la sección anterior calculamos la integral \int\!\sin^2x\,dx utilizando integración por partes.

Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica:

  \begin{equation*} \sin x = \sqrt{\frac{1 - \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno.

Ejemplo 2

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\cos^3x\,dx \end{equation*}

Utilizando la identidad:

  \begin{equation*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}

podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx \\ &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}


Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas.

Contenido [Mostrar]

Ejemplo 1

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\cos^2 x\,dx \end{equation*}

Utilizamos la siguiente identidad:

  \begin{equation*} \cos x = \sqrt{\frac{1 + \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!\left(1 + \cos(2\,x)\right)\,dx\\ &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,dx \end{eqnarray*}

Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,\left(\frac{2}{2}\right)dx\\ &=& \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\,\sin(2\,x) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.

En la sección anterior calculamos la integral \int\!\sin^2x\,dx utilizando integración por partes.

Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica:

  \begin{equation*} \sin x = \sqrt{\frac{1 - \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno.

Ejemplo 2

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\cos^3x\,dx \end{equation*}

Utilizando la identidad:

  \begin{equation*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}

podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx \\ &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}

La primera integral es inmediata. Para la segunda, vamos a definir: u(x) = \sin x, luego, u'(x) = \cos x. Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx\\ &=& \sin x - \int\![u(x)]^2\,u'(x)\,dx\\ &=& \sin x - \frac{[u(x)]^3}{3} + C\\ &=& \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C \end{eqnarray*}

El artificio de sustituir \cos^2x = 1 - \sin^2x nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando consista de la función \cos x elevada a una potencial impar. Por ejemplo, para integrar \cos^5x reescribimos este integrando de la siguiente manera:

  \begin{eqnarray*} \cos^5x &=& \cos^4x\cdot\cos x = \left(1 - \sin^2x\right)^2\cos x \\ &=& \left(1 - 2\,\sin^2x + \sin^4x\right)\,\cos x \end{eqnarray*}

Después podemos definir u = \sin x y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver. En algunos productos de potencias de las funciones \sin x y \cos x también podemos aplicar el mismo artificio matemático. Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa.

https://youtu.be/FUZzUalCxlo?si=by0ejLy2WTs3IBbp



https://youtu.be/aV3RC0Eh-SQ?si=0AcbpybDJ6wUH3T4









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